अर्धवार्षिक परीक्षा 2026-27
कक्षा – 12वीं
विषय – गणित
समय – 03 घंटे——————————————————————————————————————-पूर्णांक – 80
निर्देश:
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
- प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं।
- प्रश्न क्रमांक 6 से 23 तक प्रत्येक प्रश्न में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
- प्रश्न क्रमांक 6 से 15 तक अति लघुउत्तरीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए 02 अंक निर्धारित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 16 से 19 तक लघुउत्तरीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए 03 अंक निर्धारित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 20 से 23 तक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए 04 अंक निर्धारित हैं।
- सभी गणनाएँ आवश्यक चरणों सहित कीजिए।
प्र.1. सही विकल्प का चयन कर लिखिए – [1 × 6 = 6]
(i) यदि A = {1, 2, 3} और B = {2, 3, 4}, तो A ∩ B है—
(अ) {1, 2}
(ब) {2, 3}
(स) {1, 2, 3, 4}
(द) {3, 4}
(ii) sin⁻¹(1) का मान है—
(अ) 0
(ब) π/4
(स) π/2
(द) π
(iii) यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो |A| को क्या कहते हैं?
(अ) प्रतिलोम
(ब) सारणिक
(स) सहखंडज
(द) क्रम
(iv) फलन f(x) = x² का अवकलज है—
(अ) x
(ब) 2x
(स) x²
(द) 2
(v) ∫ x dx का मान है—
(अ) x² + C
(ब) x²/2 + C
(स) 2x + C
(द) x + C
(vi) दो सदिशों का अदिश गुणनफल क्या कहलाता है?
(अ) सदिश गुणनफल
(ब) डॉट गुणनफल
(स) क्रॉस गुणनफल
(द) मैट्रिक्स गुणनफल
प्र.2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए – [1 × 7 = 7]
(i) यदि A ∩ B = ∅ हो, तो A और B समुच्चय ________ कहलाते हैं।
(ii) किसी आव्यूह का क्रम m × n हो तो उसमें कुल ________ अवयव होते हैं।
(iii) |A| = 0 होने पर आव्यूह A को ________ आव्यूह कहा जाता है।
(iv) d/dx (sin x) = ________।
(v) d/dx (cos x) = ________।
(vi) ∫ 1/x dx = ________।
(vii) दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल एक ________ राशि होती है।
प्र.3. सही जोड़ियाँ बनाइए – [1 × 7 = 7]
| ‘A’ | ‘B’ |
|---|---|
| (i) sin⁻¹(1) | (अ) 2x |
| (ii) d/dx(x²) | (ब) π/2 |
| (iii) ∫ x dx | (स) x²/2 + C |
| (iv) d/dx(sin x) | (द) cos x |
| (v) d/dx(cos x) | (इ) -sin x |
| (vi) शून्य सारणिक | (फ) असंगत आव्यूह |
| (vii) a·b | (ग) अदिश गुणनफल |
प्र.4. सत्य / असत्य लिखिए – [1 × 6 = 6]
(i) प्रत्येक फलन का प्रतिलोम फलन अस्तित्व में होता है।
(ii) शून्य सारणिक वाला आव्यूह एकवाची आव्यूह होता है।
(iii) d/dx(x³) = 3x²।
(iv) ∫ cos x dx = sin x + C।
(v) दो समान दिशा वाले सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य होता है।
(vi) सदिश का परिमाण एक अदिश राशि है।
प्र.5. एक शब्द / एक वाक्य में उत्तर लिखिए – [1 × 6 = 6]
(i) दो समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय क्या कहलाता है?
(ii) किसी आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या को क्या कहते हैं?
(iii) फलन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने की प्रक्रिया क्या कहलाती है?
(iv) अवकलज की विपरीत प्रक्रिया क्या कहलाती है?
(v) दो सदिशों के अदिश गुणनफल को किस चिन्ह से दर्शाते हैं?
(vi) दो सदिशों के सदिश गुणनफल को किस चिन्ह से दर्शाते हैं?
प्र.6. समुच्चय से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
समुच्चय के कोई दो प्रकार लिखिए।
प्र.7. संबंध एवं फलन में क्या अंतर है? [2]
अथवा
एक-एक फलन और आच्छादक फलन से क्या तात्पर्य है?
प्र.8. आव्यूह से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
आव्यूह के कोई दो प्रकार उदाहरण सहित लिखिए।
प्र.9. सारणिक से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
एकवाची और अव्युत्क्रमणीय आव्यूह से क्या तात्पर्य है?
प्र.10. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
sin⁻¹x का परास लिखिए।
प्र.11. सतत फलन से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
किसी फलन के सतत होने की कोई दो शर्तें लिखिए।
प्र.12. अवकलज से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
अवकलन की कोई दो मूलभूत सूत्र लिखिए।
प्र.13. स्पर्श रेखा एवं अभिलंब से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए किसका प्रयोग किया जाता है?
प्र.14. समाकलन से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
अनिश्चित समाकलन से क्या तात्पर्य है?
प्र.15. सदिश से क्या तात्पर्य है? [2]
अथवा
सदिश के कोई दो प्रकार लिखिए।
प्र.16. फलन की सततता एवं अवकलनीयता में संबंध स्पष्ट कीजिए। [3]
अथवा
यदि y = x³ + 2x² − 5x + 7 हो, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
प्र.17. आव्यूह के व्युत्क्रम की सहायता से दो रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि समझाइए। [3]
अथवा
यदि A = [[2, 1], [3, 2]] हो, तो |A| ज्ञात कीजिए।
प्र.18. अवकलज की सहायता से फलन के अधिकतम एवं न्यूनतम मान ज्ञात करने की विधि समझाइए। [3]
अथवा
y = x² − 4x + 5 के लिए dy/dx ज्ञात कीजिए।
प्र.19. दो सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा लिखिए तथा इसके कोई दो गुण लिखिए। [3]
अथवा
यदि a = 2i + 3j और b = i − 2j हों, तो a·b ज्ञात कीजिए।
प्र.20. आव्यूह एवं सारणिक की सहायता से रैखिक समीकरणों के हल की विधि विस्तार से समझाइए। [4]
अथवा
क्रेमर के नियम की सहायता से दो चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि समझाइए।
प्र.21. अवकलज की सहायता से किसी फलन के अधिकतम एवं न्यूनतम मान ज्ञात करने की प्रक्रिया उदाहरण सहित समझाइए। [4]
अथवा
फलन f(x) = x³ − 3x² + 2 के स्थानीय अधिकतम एवं न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
प्र.22. निश्चित समाकलन के प्रमुख गुणों को उदाहरण सहित समझाइए। [4]
अथवा
समाकलन की सहायता से वक्र तथा अक्षों के बीच घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने की विधि समझाइए।
प्र.23. सदिशों के अदिश एवं सदिश गुणनफल को परिभाषित करते हुए दोनों के बीच अंतर स्पष्ट कीजिए। [4]
अथवा
दो सदिशों के बीच कोण ज्ञात करने का सूत्र लिखिए तथा उसका उपयोग समझाइए।